Algèbre linéaire Exemples

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 0 & 0 & - 16 4 & 4 & 16 0 & 0 & 4 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & - 16 \\ 4 & 4 & 16 \\ 0 & 0 & 4 \end{array}]$

Étape 1

Choose the row or column with the most

0

$0$ elements. If there are no

0

$0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row

1

$1$ by its cofactor and add.

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Étape 1.1

Consider the corresponding sign chart.

∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} + & - & + - & + & - + & - & + \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Étape 1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a

-

$-$ position on the sign chart.

Étape 1.3

The minor for

a_{11}

$a_{11}$ is the determinant with row

1

$1$ and column

1

$1$ deleted.

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 4 & 16 0 & 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 4 & 16 \\ 0 & 4 \end{array} |$

Étape 1.4

Multiply element

a_{11}

$a_{11}$ by its cofactor.

0 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 4 & 16 0 & 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$0 | \begin{array}{c} 4 & 16 \\ 0 & 4 \end{array} |$

Étape 1.5

The minor for

a_{12}

$a_{12}$ is the determinant with row

1

$1$ and column

2

$2$ deleted.

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 4 & 16 0 & 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 4 & 16 \\ 0 & 4 \end{array} |$

Étape 1.6

Multiply element

a_{12}

$a_{12}$ by its cofactor.

0 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 4 & 16 0 & 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$0 | \begin{array}{c} 4 & 16 \\ 0 & 4 \end{array} |$

Étape 1.7

The minor for

a_{13}

$a_{13}$ is the determinant with row

1

$1$ and column

3

$3$ deleted.

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 4 & 4 0 & 0 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 0 & 0 \end{array} |$

Étape 1.8

Multiply element

a_{13}

$a_{13}$ by its cofactor.

- 16 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 4 & 4 0 & 0 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$- 16 | \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 0 & 0 \end{array} |$

Étape 1.9

Add the terms together.

0 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 4 & 16 0 & 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 0 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 4 & 16 0 & 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ - 16 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 4 & 4 0 & 0 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$0 | \begin{array}{c} 4 & 16 \\ 0 & 4 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 4 & 16 \\ 0 & 4 \end{array} | - 16 | \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 0 & 0 \end{array} |$

0 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 4 & 16 0 & 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 0 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 4 & 16 0 & 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ - 16 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 4 & 4 0 & 0 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$0 | \begin{array}{c} 4 & 16 \\ 0 & 4 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 4 & 16 \\ 0 & 4 \end{array} | - 16 | \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 0 & 0 \end{array} |$

Étape 2

Multipliez

0

$0$ par

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 4 & 16 0 & 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 4 & 16 \\ 0 & 4 \end{array} |$ .

0 + 0 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 4 & 16 0 & 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ - 16 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 4 & 4 0 & 0 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$0 + 0 | \begin{array}{c} 4 & 16 \\ 0 & 4 \end{array} | - 16 | \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 0 & 0 \end{array} |$

Étape 3

Multipliez

0

$0$ par

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 4 & 16 0 & 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 4 & 16 \\ 0 & 4 \end{array} |$ .

0 + 0 - 16 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 4 & 4 0 & 0 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$0 + 0 - 16 | \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 0 & 0 \end{array} |$

Étape 4

Évaluez

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 4 & 4 0 & 0 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 0 & 0 \end{array} |$ .

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Étape 4.1

Le déterminant d’une matrice

2 \times 2

$2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} a & b c & d \end{matrix} ∣ ∣ ∣ = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

0 + 0 - 16 (4 \cdot 0 + 0 \cdot 4)

$0 + 0 - 16 (4 \cdot 0 + 0 \cdot 4)$

Étape 4.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1.1

Multipliez

4

$4$ par

0

$0$ .

0 + 0 - 16 (0 + 0 \cdot 4)

$0 + 0 - 16 (0 + 0 \cdot 4)$

Étape 4.2.1.2

Multipliez

0

$0$ par

4

$4$ .

0 + 0 - 16 (0 + 0)

$0 + 0 - 16 (0 + 0)$

0 + 0 - 16 (0 + 0)

$0 + 0 - 16 (0 + 0)$

Étape 4.2.2

Additionnez

0

$0$ et

0

$0$ .

0 + 0 - 16 \cdot 0

$0 + 0 - 16 \cdot 0$

0 + 0 - 16 \cdot 0

$0 + 0 - 16 \cdot 0$

0 + 0 - 16 \cdot 0

$0 + 0 - 16 \cdot 0$

Étape 5

Simplifiez le déterminant.

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Étape 5.1

Multipliez

- 16

$- 16$ par

0

$0$ .

0 + 0 + 0

$0 + 0 + 0$

Étape 5.2

Additionnez

0

$0$ et

0

$0$ .

0 + 0

$0 + 0$

Étape 5.3

Additionnez

0

$0$ et

0

$0$ .

0

$0$

0

$0$